Teorema del impulso

El impulso mecánico es consecuencia de una fuerza que actúa sobre un cuerpo y que modifica su estado de movimiento.
De acuerdo a la segunda ley de Newton:  ΣF = m·a
Y de acuerdo a lo que aprendiste en el movimiento uniformemente acelerado: a = ∆v/∆t

Sustituyendo: ΣF = m·∆v/∆t
Según la definición de cantidad de movimiento: m·∆v = ∆p.

Y por lo tanto; ΣF = ∆p/∆t

Despejando la expresión anterior se obtiene el Teorema del impulso mecánico.
ΣF·∆t = ∆p

El impulso mecánico de la fuerza resultante es igual a la variación del momento lineal.

ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA

La energía potencial gravitatoria es la energia potencial que depende de la altura asociada con la fuerza gravitatoria. Ésta dependerá de la altura relativa de un objeto a algún punto de referencia, la masa y la fuerza de la gravedad.

Definimos la energía potencial gravitatoria como la energía que posee un cuerpo por el hecho de encontrarse bajo la acción de la gravedad. La fórmula que te permite calcular la energía potencial gravitatoria  que posee un cuerpo es:

Ep= m · g · h

Donde:

• Ep: Es la energía potencial del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Julio (J)
• m: Masa del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Kilogramo (kg)
• g: Valor de la aceleración que provoca la gravedad. Su unidad de medida en el SIstema Internacional es el metro por segundo al cuadrado (m/s2)
• h: Altura a la que se encuentra el cuerpo . Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m) 

El trabajo mecánico que se necesita para elevar un cuerpo a una cierta altura h, va a ser igual a la cantidad de energía potencial gravitatoria que almacena el cuerpo al alcanzar esa altura h. 

A su vez si el cuerpo se suelta, cáera bajo la acción de la fuerza peso y desarrollará un trabajo que se pondrá de manifiesto por ejemplo aplastando  un objeto que se encuentra en el piso.
Para poder elevar una piedra por una pendiente hay que realizar un trabajo mecánico que le permita a la piedra almacenar energía potencial gravitatoria.

Para aumentar la energía potencial gravitatoria de la roca, la persona aplica una fuerza para poder desplazar la roca a una cierta altura. Es decir la persona realiza trabajo mecánico

Conservación del momento

El momento lineal se define como el producto de la masa por el vector velocidad. Será por tanto una magnitud vectorial.

p = m · v

El principio de conservación del momento lineal nos dice que si la fuerza resultante sobre un cuerpo o sistema es nula, no hay variación del momento lineal, es decir, el momento lineal se conserva.

∑ F=0 

F· Δt = m·Δv = Δp = 0

En este ejemplo podemos observar como dos cuerpos están en movimiento con una cierta velocidad cada uno, y el momento lineal total es la suma vectorial del momento lineal de cada uno de ellos. Después del choque, los cuerpos van hacia otro sentido y la velocidad de los cuerpos puede variar pero se conservará el momento lineal porque las fuerzas exteriores son menores y no afectan.

POTENCIA Y RENDIMIENTO

Estos días en clase hemos trabajado dos conceptos fundamentales: la potencia y el rendimiento.


1-  La potencia es la cantidad de trabajo que se realiza por unidad de tiempo. Puede asociarse a la velocidad de un cambio de energía dentro de un sistema, o al tiempo que demora la concreción de un trabajo. Por lo tanto, es posible afirmar que la potencia resulta igual a la energía total dividida por el tiempo.

Además también podemos definir la potencia como la rapidez con la que se realiza un trabajo. Su expresión viene dada por: 

P=Wt

Donde:

• P: Potencia desarrollada por la fuerza que realiza el trabajo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Vatio (W)
• W: Trabajo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Julio (J)
• t: Tiempo durante el cual se desarrolla el trabajo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo (s).

Unidades: 

• 1 cv=735 W
• 1 KWh=3'6x1000000 J

2- El rendimiento es un concepto asociado al trabajo realizado por las máquinas.

Todo el mundo sabe que obtener un buen rendimiento supone obtener buenos y esperados resultados con poco trabajo. En Física este concepto se define como el cociente entre el trabajo útil que realiza una máquina en un intervalo de tiempo determinado y el trabajo total entregado a la máquina en ese intervalo. Su fórmula es:

http://newton.cnice.mec.es/materiales_didacticos/rendimiento/index.htm (os recomiendo que miréis la animación de este link).

Ejercicio de conservación del momento después de el choque de dos cuerpos
Una partícula de 5 kg de masa moviéndose a 4 m/s choca contra otra partícula de 4 kg de masa inicialmente en reposo.Si, después del choque, la segunda partícula se desvió 50º de la dirección original del movimiento, calcula:
a) La velocidad y dirección de la primera bola después del choque.
b) El módulo del vector variación de la velocidad de cada partícula. 

a) Primero de todo se ha de calcular la conservación del momento. Igualando, el final con el inicial y separando su dirección, la x y la y. Con ellos se podrá calcular su velocidad en el eje x e y, y posteriormente, su módulo. Con el coseno, del angulo que forman, al tener sus dos componentes se podrá calcular su dirección (ángulo). 
b) El módulo del vector variación se calcula con ambas velocidades por diferente. Se realizará por igual. Se calculará su diferencia respeto el momento inicial o final y sin mezclar sus ejes. Finalmente, calculamos su módulo sabiendo su diferencia de sus componentes. 

Ejercicio conservación del momento

Un proyectil de 900g es lanzado durante una sesión de fuegos artificiales explotando a una altura de 300m, cuando su velocidad es vertical y ascendiente de 80km/h y se divide en dos fragmentos. Un de estos fragmentos, de 600g sigue subiendo con una velocidad de 100km/h. Calcula:
a) Cual es la velocidad del otro fragmento
b) Hacia donde se mueve

DATOS:
m= 900g=0.9 Kg
X1=300m
V1=80km/h = 22'22m/s
V2=100km/h=27'78m/s

A)
m1 . V1 = m2 . V2 + m3 . V3

0.9kg . 22'22m/s = 0'6kg . 27'78m/s + 0'3kg . V3

20 = 16'7 + 0'3 . V3

V3 . 0'3 = 20 - 16'67

V3= 11'11m/s = 40km/h

B) El cohete que se ha desprendido en dos fragmentos a una altura de 300m, sabemos que una parte asciende y la segunda, según la teoría de la conservación del momento solo puede subir, por ello ambos fragmentos ascienden una vez divididos.

Demostración Teorema de las Fuerzas Vivas

El teorema de las fuerzas vivas dice que el trabajo realizado por la suma de todas las fuerzas aplicadas en un cuerpo es igual al incremento de su energía cinética.
Para demostrarlo empezamos con la fórmula del trabajo:

W = F · Δx  (como sabemos que F = m a) podemos decir que: 
W = m a Δx 

Ahora, como la energía cinética depende del movimiento, utilizamos las fórmulas del MRUA: 

1)  Δx = V₀ t + ½ at²

2)  V_F = V_o+at ......... t = V_F – V₀ / a 

Ahora sustituimos en la ecuación del trabajo, el incremento de x de la primera ecuación. Además sustituimos a la vez el tiempo que hemos aislado de la segunda ecuación: 

W = ma (V₀ t + ½ at² ) 

W = ma (V_{0 ·} (V_F – V₀ / a) + ½ a (V_F – V₀ / a)² ) 

W = m ((V_{0 ·} (V_F – V₀ ) + ½ (V_F ² – 2V_FV₀ + V₀² ))

W = m (V₀V_F – V₀² + ½ (V_F ² – 2V_FV₀ + V₀² ))

W = m (½ V_F² - ½ V₀²)

Por lo tanto, queda demostrado que W = Δ Ec  y que la energía cinética se define como Ec = ½ mV²

^{¡Esta imagen ayuda a entender el teorema de otra manera aunque se utiliza una formula del movimiento diferente!}

https://www.youtube.com/watch?v=jPhbUf2WP4E 

^{Este vídeo es un ejercicio resuelto que ayuda a entender el teorema (solo hasta el min 4)} 

Fuerzas conservativas

Las fuerzas conservativas

Las fuerzas conservativas son aquellas cuyo trabajo dependen únicamente de la posición inicial y final del objeto, no depende de la trayectoria que ha seguido dicho objeto desde la posición inicial a la final.

Las características que deben cumplir las partículas para poseer fuerzas conservativas son:
- Un campo escalar (que es la asociación de un valor a cada punto en el espacio)
- El trabajo solamente depende de la posición final e inicial del objeto, y no de su trayectoria.
- El movimiento se produce en un circuito cerrado, es decir, que el campo por donde se mueve la partícula es continuo.

En la física clásica, existen tres tipos de fuerzas conservativas, la gravitatoria o de peso, la elástica, y la electrostática. Pero nosotros de momento hemos trabajado las dos primeras, la gravitatoria o de peso y la elástica.

• La fuerza gravitatoria o de peso

En clase pudimos ver porqué la fuerza peso es conservativa a través de un ejemplo donde el recorrido era un cuadrado, cuyos vértices eran A,B,C,D. 

W(Fp)= Wa→b→c→d= m·g·AB·cos90º+m·g·BC·cos0º+m·g·CD·cos90º+m·g·DA·cos180º=

= m·g·BC-m·g·DA= mg (BC-DA)= 0

Como nos da cero, el recorrido es continuo y W= -△p, podemos decir que es una fuerza conservativa.

• La fuerza elástica

La fuerza elástica, es la fuerza que hay en un muelle. Otro ejemplo explicado en clase, fue el de las áreas. 

W= A(área grande) - a(área pequeña)

W=1/2·△x·F(X2)-1/2·△x·F(X1)= -1/2·k·(△x2)2 + 1/2·k·(△x1)2= -△p

Se podría decir que debido a que el trabajo da -△p, es una fuerza conservativa ya que solo las fuerzas conservativas cumplen ese requisito.

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO

El principio de conservación del momento lineal nos enuncia que en un circuito aislado, es decir, un sistema en el cual no actúan fuerzas exteriores o la suma de todas ellas es nula, la suma de todos los momentos lineales de las partículas que lo componen ha quedado constante en el tiempo:

                                                                    (p_total) _Inicial = (p_total) _Final

_{Este principio lo podemos conseguir a partir de la segunda ley de Newton:}

_{Esta expresión se usa en colisiones. En este caso, un objeto en movimiento (con determinado momento lineal), golpea otro y, como que el momento total se conserva, si disminuye la velocidad, el otro aumenta. En general, en cualquier colisión, ya sea entre partículas subatómicas o entre automóviles, se considera que mientras ocurre el impacto no actúan fuerzas exteriores en el sistema. Aunque no es del todo cierto, es una aproximación muy buena para considerar negligentes las fuerzas exteriores, porque suelen ser mucho más pequeñas que las interiores.}

_{Otro caso en el cual se conserva el momento lineal del sistema es el de una explosión. Se puede considerar que en una explosión solo actúan las fuerzas internas entre partes del sistema, por tanto hay conservación del momento. Por ejemplo, cuando explotan los fuegos artificiales, la dirección y la velocidad de los fragmentos obedecen al principio de conservación.}

El efecto de retroceso de las armas de fuego es otro ejemplo. Antes de disparar, si el arma está en reposo, el momento es cero. En el proceso de disparar solo actúan fuerzas internas, por tanto el momento se conservará, y después de salir el proyectil también será cero.

En el movimiento de los aviones de reacción y de cohetes también se conserva el momento. La nave gana una cantidad de movimiento hacia delante del mismo módulo que la cantidad de movimiento ganada por los gases de la combustión al ser expulsados.

DEFINICIÓN DE TRABAJO

El trabajo es el producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo y el desplazamiento del cuerpo en la dirección de esta fuerza.

El trabajo también se puede definir como producto escalar entre fuerza y desplazamiento. Matemáticamente se muestra así:

Los vectores desplazamiento y fuerza pueden ser paralelos (caso 1), perpendiculares (caso 2 y 3)

tener direcciones opuestas (caso 5). 

Si la fuerza está en dirección del desplazamiento el trabajo será mayor. Para ello se necesita cos=1 es decir, cos0º. 

Teorema de las fuerzas conservativas

EM0 = EMf  ==> (Ec + Ep)0 = (Ec + Ep)f

Esta ecuación demuestra que una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y la final. Luego existen fuerzas conservativas como lo es la gravedad y no conservativas como el rozamiento.

CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

En el momento de estudiar tanto la energía cinética como la energía potencial, definimos la relación de cada una de ellas con el trabajo, obteniendo las siguientes igualdades:

W= - ΔEp ⤑ La relación solo se cumple si la fuerza que actúa sobre el cuerpo es CONSERVATIVA

W= ΔEc

De estas igualdades podemos deducir que si sobre un cuerpo actúa un trabajo determinado entonces...

- ΔEp = ΔEc

⤋

 - (Epfinal - Epinicial) = Ecfinal - Ecinicial

⤋

-Epfinal + Epinicial = Ecfinal - Ecinicial

⤋

Epinicial + Ecinicial = Epfinal + Ecfinal

Si tenemos en cuenta que la energía mecánica que posee un determinado cuerpo puede definirse como la suma de la energía potencial y la energía cinética que posee dicho cuerpo en un instante determinado:

Eminicial = Emfinal

TEOREMA DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

⤑ Es muy importante recordar que este teorema solo puede aplicarse a las fuerzas conservativas, como el peso o la fuerza elástica, ya que la igualdad W= - ΔEp solo se cumple en este tipo de fuerzas.

En la siguiente imagen podemos observar como se resolvería un ejercicio de conservación de la energía mecánica, en el que nos presentan un cuerpo de 70kg que se deja caer desde una altura de 7m, y nos piden que calculemos la altura a la que se encuentra cuando lleva una velocidad de 8m/s y su velocidad cuando llega al suelo. Mediante el teorema de la conservación de la energía mecánica podemos resolver esta actividad.

A raíz de este ejercicio, podemos observar que, a medida que el cuerpo va cayendo, la energía potencial de éste disminuye y la cinética va aumentando, ya que, como la energía mecánica se tiene que conservar, si la energía cinética aumenta, la potencial disminuirá y viceversa. Este hecho se puede observar en la siguiente gráfica.

La energía potencial elástica y su relación con el trabajo

La energía potencial elástica es la energía almacenada a causa de la deformación de un objeto elástico, como por ejemplo la deformación de una muelle.
El trabajo realizado para estirar el muelle depende de la constante elástica (k) así como de la elongación.



Según la ley de Hooke, la fuerza requerida para estirar el muelle es proporcional a la elongación:

F=-kx











Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final.
La energía potencial elástica es conservativa porque cuando un muelle se deforma, ejerce una fuerza proporcional ,a la deformación, sobre el cuerpo.

Entonces el trabajo realizado para elongar el muelle es:





-Aquí tenemos un ejemplo:

Teorema del Impulso

El impulso mecánico es consecuencia de una fuerza que actúa sobre un cuerpo y que modifica su estado de movimiento. La cantidad de movimiento caracteriza el estado de movimiento del cuerpo.

Puedes pensar que estas dos magnitudes no son independientes, sino que están relacionadas, y así es en efecto.

De acuerdo con la segunda ley de Newton, 

y, de acuerdo con lo que aprendiste en el movimiento uniformemente acelerado,   . Sustituyendo:

 . 

Si recuerdas la definición de cantidad de movimiento,   y por lo tanto:

Energía potencial gravitatoria

La energía potencial es una forma de energía que posee un objeto por el hecho de estar en una determinada posición.

La energía potencial gravitatoria es una energía que se asocia a un objeto que está a una altura "h", tiene masa "m" y es igual al trabajo que hace la fuerza peso para desplazar el objeto desde la posición donde está, hasta el nivel de referencia.

Se relaciona con la atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre el cuerpo.

Su fórmula es:

W= m·͞g·͞h = m·g·h·cosα

El trabajo que hace la fuerza peso para llevar un objeto de una altura h1 a una altura h2:














W= m·g·(h1-h2)= m·g·h1-m·g·h2= Epi-Epf= -ΔEp 

(hemos considerado que el ángulo es cero porque en este caso la fuerza peso es paralela al desplazamiento. Así que el coseno del ángulo resulta dar 1)

Fuerzas conservativas

Las fuerzas conservativas

Las fuerzas conservativas son aquellas fuerzas para las cuales valen los siguientes requisitos:

1.    El trabajo es independiente al recorrido.

2.    Se puede definir una energía potencial de manera que el trabajo se puede calcular como [w= -∆Ep]

3.    El trabajo en un recorrido cerrado; que tiene el mismo principio y fin, es igual a cero.

Solo las fuerzas que cumplen con estos tres requisitos son fuerzas conservativas. Dos ejemplos de este tipo de fuerzas son: la fuerza peso y la fuerza elástica.

Para verificar si la fuerza peso es conservativa, calculamos el trabajo que ejerce en un recorrido cerrado como el del ejemplo. El resultado nos da que el trabajo es independiente al recorrido y que este es cero en un recorrido cerrado; es una fuerza conservativa. Además, también cumple que w= -∆Ep.

Para verificar que la fuerza elástica es conservativa calculamos el trabajo utilizando un método gráfico, ya que se trata de una fuerza no constante. Para calcular el trabajo (área coloreada de la gráfica), calculamos el área grande y le restamos el área pequeña. Al desarrollar la fórmula observamos que el trabajo es igual a [-∆Ep] y como hemos visto que esto solo pasa en las fuerzas conservativas, podemos afirmar que la fuerza elástica lo es.