Movimiento Armónico Simple: ecuación de la velocidad

Equació de la velocitat:

V(t)=A*w*cos(w*t+ф)

La gráfica de la velocidad expresa la velocidad de un objeto que oscila a medida que pasa el tiempo.

La A es la distancia que hay entre el punto máximo y el punto de equilibro, por esto, -A también se podría explicar cómo la distancia entre el punto mínimo y el de equilibrio. La w representa la pulsación de este movimiento, que se puede relacionar con la frecuencia (f=w:2π). El período de un moviemiento armónico es el tiempo que tarda en hacerse una oscilación complete, y entonces aplicando su fórmula obtendríamos la w (T= 2π:w). Por último, ф representa la elongación en el instante inicial, y la podemos encontrar sustituyendo el tiempo por cero (t=0) y encontrando phí a partir de la ecuación de la elongación.

Después de haber definido cada una de sus componentes, hemos de resaltar cuando la velocidad adquiere su máxima y mínima velocidad. Cuando el cos equivale a 0 su velocidad será la mínima, es decir, 0 m/s. Esto es debido a que si en la ecuación se multiplican todo entre sí, si una parte de ello es 0, todo te dará 0. Su máxima velocidad se encuentra cuando el cos es igual a 1. Esto se puede explicar porque la velocidad será más grande cuando haya recorrido todo su período y será en su punto más lejano del inicial. Es decir, cuando haya recorrido más trazado porque llevara todo el impulso y toda la velocidad que habrá ido sumándose a lo largo de la oscilación. Y al ser el punto más lejano, no hay valor más grande del coseno que cuando es 1. 

Observando la gráfica podemos ver que en el punto más lejano del incial, es decir, el final del período, la velocidad es máxima (cos=1), y cuando el punto es cuando t=0, por tanto, el putno incial, la velocidad es igual a zero (v=0). Por último, también podemos decir que la velocidad es mínima cuando la elongación es igual a A, es decir cuando se encuentra en el punto más alto. 

Equación de la Elongación cuando ϕ0 empieza en el máximo

En esta ecuación  y(t)=Asin(wt+ϕ₀), podemos ver que hay ϕ₀  lo que significa que la ecuación empieza en una y diferente de 0. 

Cuando ϕ₀  es igual a la elongación máxima, lo que significa que la gráfica empieza en y=A, podemos decir que y(t)=Acos(wt)

Esto es cierto porque si ϕ₀ es igual a π/2 nos da que sin(wt+π/2)=cos(wt)

Comparación entre el MCU y el MAS

Applet de la comparación entre el MCU y el MAS

En este applet se puede apreciar perfectamente la comparación del MCU y del MAS. 

Cuando un punto está realizando un movimiento circular uniforme (MCU), su proyección en el eje Y está realizando un movimiento armónico simple (MAS).

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

•  GRÁFICA ELONGACIÓN-TIEMPO

Ecuación elongación: x(t)=Asin(wt+ϕ_o) 

A =elongación máxima (amplitud). Representa la distancia máxima a la posición de equilibrio. 

w = frecuencia angular o pulsación 

t =tiempo

ϕ_o = Es una fase que permite encontrar la posición en el instante 0 t = 0 

-Suponemos que la fase inicial es cero, esta imagen representa la gráfica de la posición con respecto al tiempo en m.a.s. Esta gráfica se puede representar mediante el seno o el coseno.

x= Asin(2π/T·t)  

x=Acos(2π/T·t+π/2)

Cuando el movimiento tiene el valor máximo de x, el sin(wt+ϕ_o)= 1

EJERCICIO TÍPICO MAS

Un móvil describe un mas entre los puntos P1(1,0) Y P2 (-1,0). La frecuencia del movimieto es 0,5 hz e inicialmente se encuentra en el punto P2. hallar:

a)  La pulsación: (omega) se encuentra a aprtir de la frecuencia ya que su ecuación depende de la w.

w= f2π ----> w= 0,53 · 2π   ; w=π rad/s

b) La ecuación de la elongación en función del tiempo

la ecuación es: y(x)= Asin(wt+ φ) ;  y(x)= 1 sin(πt+ φ) ; nos falta el phi: y(x) = 1 sin (πt+ π/2)

la phi es en tiempo 0 la posicion en al que se encuentra, y en este caso se encuentra en pos.0 : 0=1 sin(πt+ φ) 

; -1 =sin(π·0+ φ) 
-1= sin φ   ; φ= π/2 rad.

c)velocidad del móvil en funcion del tiempo

v(t)= Aw cos(wt+ φ) ; v(t)= 1π  cos(πt+ π/2)

e) velocidad máxima 

cuando hay velocidad máxima, el cos=1, entonces: v= 1π · 1
                                                                            v= 1π m/s

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

El movimiento armónico simple, también llamado movimiento vibratorio es un movimiento oscilatorio de trayectoria recta.

La ecuación de la elongación del movimiento armónico simple corresponde con la ecuación del seno, pero como la elongación máxima no es 1 entonces multiplicamos el seno por una constante A, la amplitud, que es la elongación máxima, de tal manera que cuando el seno es 1 la elongación es igual a A. Como las oscilaciones no son iguales para todos los is de movimientos, ya que tienen periodos (T) diferentes, el tiempo se multiplica por una constante, la pulsación, ω=2π·f, siendo la frecuencia (f=T/2). Si cuando el tiempo es 0, la elongación no es 0, 

entonces necesitamos una constante que se sume a la ωt, para que cuando el tiempo sea 0, la fase del 

movimiento sea igual a esta constante, que recibe el nombre de φo.

Por lo tanto, la ecuación del movimiento armónico simple es:

y(t)=A·sin(ωt+φo)